(1) R3에서 회전
이전 기사에서 R2에 속하는 각 벡터를 회전시키는 변환을 요약했습니다.
이번에는 확장된 범위로 R3의 깨끗한 회전 변환해볼 생각입니다.
3차원 회전은 R3에서 R3로 매핑되는 변환인 3Rot(θ)로 표시됩니다.
이 시점에서 x축을 중심으로 회전한다고 가정합니다.
이것을 적용하여 y축과 z축을 중심으로 다른 각도로 회전할 수 있습니다.
x, y, z축을 그리고 x축을 중심으로 회전하는 벡터를 분홍색으로 그렸습니다.
3Rot(θ) = Ax로 표현할 수 있으며 A는 3×3 행렬입니다.
ㅏ행렬을 찾으려면 항등행렬에 변환을 적용하여 표현해보자.
R3(1 0 0; 0 1 0; 0 0 1)의 기저 벡터의 각 열은 e1, e2, e3으로 표시될 수 있습니다.
그 다음에 A = ( 3적색(e1), 3적색(e2), 3적색(e3) ) 오전.
R3의 기저 벡터를 x축 주위로 회전시켜 봅시다.
3차원 공간은 시각화하기 어려우므로 yz축만 있는 평면으로 그려서 회전한 결과를 상상한다.
e1 = (1 0 0)이고 e1을 회전시키면 x축을 중심으로 x축이 회전하므로 방향도 크기도 변하지 않습니다.
따라서 변환된 벡터는 1, 0, 0입니다.
e2 = (0 1 0)이고, 좌표평면에 플로팅하면 (y, z) = (1, 0)이 됩니다.
θ에 대한 회전은 그림 같은 중간 결과를 제공합니다.
그러면 빗변 길이가 1인 직각 삼각형을 찾을 수 있습니다.
이때 y의 값은 밑면의 길이이고 z의 값은 높이의 길이입니다.
삼각 함수에 따르면 cosθ = 밑변/빗변 = 밑변/1이고 sinθ = 높이/빗변 = 높이/1입니다.
따라서 변환된 벡터는 (0 cosθ sinθ)입니다.
e3 = (0 0 1)이고, 좌표평면에 그리면 (y, z) = (0, 1)이다.
이것을 좌표평면에 그리면 아래 그림과 같이 됩니다.
여기서 y 값은 높이이고 z 값은 밑면의 길이입니다.
삼각 함수에 따르면 y = 높이 = -sinθ, z = 밑면 = cosθ입니다.
따라서 변환된 벡터는 (0 – sinθ, cosθ)입니다.
이 모든 것을 종합하면 변환 행렬 A = (1 0 0; 0 cosθ -sinθ; 0 죄θ, cosθ).
우리는 R2에서 보여준 것이 R3에서도 적용될 수 있음을 보여주었다.
이는 차원을 늘려도 일반화할 수 있음을 보여준다.
그리고 R3의 회전은 x축, y축, z축을 중심으로 회전합니다.
세 번 회전하면 x, y, z가 바뀌는 회전 결과를 얻을 수 있습니다.